Esercizi – urti tra punti materiali e corpi rigidi

Esercizi sulla lezione L303 e sulla lezione L301 (urti). Si usa \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\).

Richiamo teorico – urti con un corpo rigido

Durante un urto agiscono forze molto intense per un tempo brevissimo. Che cosa si conserva dipende dai vincoli:

se il corpo rigido è libero (per esempio su un piano liscio), si conservano la quantità di moto totale e il momento angolare totale rispetto a un punto qualsiasi;
se il corpo è vincolato a un asse fisso (una cerniera, un perno), il vincolo esercita una reazione impulsiva: la quantità di moto in generale non si conserva, ma si conserva il momento angolare rispetto all’asse, perché la reazione ha momento nullo rispetto all’asse;
l’energia cinetica si conserva solo negli urti elastici; se i corpi restano attaccati l’urto è completamente anelastico.

L’impulso della reazione vincolare è uguale alla variazione della quantità di moto del sistema: \(\vec J_R = \vec q_f - \vec q_i\). Per un’asta incernierata a un estremo esiste un punto, il centro di percussione, in cui si può colpire l’asta senza che la cerniera risponda con una reazione impulsiva.

Corpo libero o vincolato

1Un’asta è ferma sopra un piano orizzontale liscio; la massa è \(m_1\), la lunghezza \(\ell\). Un punto materiale, di massa \(m_2\) e velocità \(\vec v\) perpendicolare all’asta, colpisce l’asta a distanza \(x\) dal centro O e vi resta attaccato. Determina la velocità lineare e quella angolare del sistema dopo l’urto.

\(x_{CM} = \dfrac{m_1 \cdot 0 + m_2x}{m_1 + m_2} = \dfrac{m_2x}{m_1 + m_2}\) centro di massa del sistema, misurato da O

\(m_2\vec v = (m_1 + m_2)\,\vec v_{CM}\)

\(\;\Rightarrow\; \vec v_{CM} = \dfrac{m_2\vec v}{m_1 + m_2}\) conservazione della quantità di moto

Momento angolare rispetto al centro di massa del sistema:

\((x - x_{CM})\,m_2v = I\omega\)

\(I = \tfrac1{12}m_1\ell^2 + m_1x_{CM}^2 + m_2(x - x_{CM})^2\)

\(x - x_{CM} = \dfrac{m_1x}{m_1 + m_2}\)

\(I = \tfrac1{12}m_1\ell^2 + \dfrac{m_1m_2x^2}{m_1 + m_2}\)

\(\dfrac{m_1m_2xv}{m_1 + m_2} = \left[\tfrac1{12}m_1\ell^2 + \dfrac{m_1m_2x^2}{m_1 + m_2}\right]\omega\)

\(m_2xv = \left[\tfrac1{12}(m_1 + m_2)\,\ell^2 + m_2x^2\right]\omega\)

\(v_{CM} = \dfrac{m_2v}{m_1 + m_2}\)

\(\omega = \dfrac{m_2xv}{(m_1 + m_2)\frac{\ell^2}{12} + m_2x^2}\)

caso \(m_1 = m_2 = m\)

\(x_{CM} = \dfrac x2\)

\(v_{CM} = \dfrac v2\)

\(\omega = \dfrac{xv}{\frac{\ell^2}{6} + x^2}\)

Osservazione. Dopo l’urto il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, mentre gli altri punti hanno un moto composto da una traslazione con velocità \(\vec v_{CM}\) e da una rotazione, con velocità angolare \(\omega\), attorno a un asse verticale passante per il centro di massa.

2Nell’esercizio precedente assumiamo che l’asta sia vincolata ad un estremo, attorno al quale può ruotare senza attrito. Per semplicità sia \(m_1 = m_2 = m\); indichiamo con \(r\) la distanza del punto d’impatto dall’estremo fisso. Determina la velocità angolare \(\omega\) del sistema asta più punto materiale dopo l’urto e l’impulso della reazione vincolare durante l’urto.

\(rmv = I\omega\)

\(I = \tfrac13m\ell^2 + mr^2\) momento angolare rispetto all’estremo fisso

\(\omega = \dfrac{rv}{\frac{\ell^2}{3} + r^2}\)

\(\vec J = \Delta\vec q = \vec q_{fin} - \vec q_{in}\)

\(\vec q_{in} = m\vec v\)

\(\vec q_{fin} = m\omega r\,\hat u_v + m\omega\,\dfrac{\ell}{2}\,\hat u_v\)

\({}= m\left(r + \dfrac{\ell}{2}\right)\omega\,\hat u_v\)

\(\vec J = m\left[\omega\left(r + \dfrac{\ell}{2}\right) - v\right]\hat u_v\)

\({}= m\left[\dfrac{rv}{\frac{\ell^2}{3} + r^2}\left(r + \dfrac{\ell}{2}\right) - v\right]\hat u_v\)

\(\vec J = m\,\dfrac{r^2v + \frac{\ell}{2}rv - \frac{\ell^2}{3}v - r^2v}{\frac{\ell^2}{3} + r^2}\,\hat u_v\)

\({}= m\ell v\,\dfrac{\frac r2 - \frac{\ell}{3}}{\frac{\ell^2}{3} + r^2}\,\hat u_v\)

\(\omega = \dfrac{rv}{\frac{\ell^2}{3} + r^2}\)

\(\vec J = \vec 0 \;\text{ se }\; r = \tfrac23\,\ell\)

Osservazione. Il punto a distanza \(\frac23\ell\) dalla cerniera è il centro di percussione dell’asta. Se l’urto avviene più vicino alla cerniera (\(r < \frac23\ell\)) l’impulso della reazione è opposto a \(\vec v\), se avviene più lontano è concorde.

3Un’asta, di massa \(m_1\) e lunghezza \(\ell\), è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro. Inizialmente l’asta è in quiete in posizione orizzontale. Un punto materiale, di massa \(m_2\), colpisce con velocità \(\vec v\), ortogonale all’asta in direzione verticale, l’estremo dell’asta. Assumendo che l’urto sia elastico e che la velocità \(\vec v'\) del punto materiale dopo l’urto sia parallela a \(\vec v\), determina nell’istante successivo all’urto la velocità angolare \(\omega\) dell’asta e il modulo e il verso di \(\vec v'\).

Prendiamo \(v'\) positiva se il punto rimbalza verso l’alto. Conservazione del momento angolare rispetto al centro e dell’energia cinetica:

\(\begin{cases} \dfrac{\ell}{2}\,m_2v = \tfrac1{12}m_1\ell^2\omega - \dfrac{\ell}{2}\,m_2v' \\ \tfrac12m_2v^2 = \tfrac12 \cdot \tfrac1{12}m_1\ell^2\omega^2 + \tfrac12m_2v'^2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} m_2(v + v') = \tfrac16m_1\ell\omega \\ m_2(v + v')(v - v') = \tfrac1{12}m_1\ell^2\omega^2 \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; v - v' = \tfrac12\,\ell\omega\) dividendo

\(m_2v + m_2v' = \tfrac13m_1v - \tfrac13m_1v'\)

\(\;\Rightarrow\; (m_1 + 3m_2)\,v' = (m_1 - 3m_2)\,v\)

\(v' = \dfrac{m_1 - 3m_2}{m_1 + 3m_2}\,v\)

\(\tfrac12\ell\omega = v\left(1 - \dfrac{m_1 - 3m_2}{m_1 + 3m_2}\right) = \dfrac{6m_2v}{m_1 + 3m_2}\)

\(\omega = \dfrac{12m_2}{m_1 + 3m_2}\,\dfrac v\ell\)

\(v' = \dfrac{m_1 - 3m_2}{m_1 + 3m_2}\,v\)

Osservazione. Se \(m_1 > 3m_2\) il punto rimbalza verso l’alto; se \(m_1 < 3m_2\) (\(v' < 0\)) prosegue nello stesso verso di prima, più lentamente. La relazione \(v - v' = \frac12\ell\omega\) dice che la velocità relativa fra il punto e l’estremo dell’asta si inverte, come nell’urto elastico fra due punti materiali.

4Un’asta, di massa \(m_1\) e lunghezza \(\ell\), è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro O. Un punto materiale, di massa \(m_2\) e velocità \(\vec v\) parallela all’asse di rotazione, colpisce l’asta a un estremo P e vi resta attaccato. Nell’istante dell’urto l’asta sta ruotando con velocità angolare \(\omega\) in verso antiorario. Determina la velocità angolare \(\omega'\) dopo l’urto, l’impulso e l’impulso angolare delle reazioni vincolari.

Il punto materiale non ha momento angolare lungo l’asse di rotazione (la sua velocità è parallela all’asse): si conserva la componente del momento angolare lungo l’asse.

\(\tfrac1{12}m_1\ell^2\omega = \left(\tfrac1{12}m_1\ell^2 + m_2\,\dfrac{\ell^2}{4}\right)\omega'\)

\(\;\Rightarrow\; m_1\omega = (m_1 + 3m_2)\,\omega'\)

\(\omega' = \dfrac{m_1\omega}{m_1 + 3m_2}\)

Impulso: il centro dell’asta è fermo, quindi la quantità di moto del sistema è quella del punto materiale. Asse \(x\) lungo l’asse di rotazione, asse \(y\) lungo la velocità dell’estremo P dopo l’urto.

\(q_{in,x} = m_2v \quad q_{in,y} = 0\)

\(q_{fin,x} = 0 \quad q_{fin,y} = m_2\,\dfrac{\ell}{2}\,\omega'\)

\(J = \sqrt{m_2^2v^2 + m_2^2\,\dfrac{\ell^2}{4}\,\omega'^2} = m_2\sqrt{v^2 + \dfrac{\ell^2}{4}\,\omega'^2}\)

\(\theta = \operatorname{arctg}\dfrac{|J_x|}{J_y} = \operatorname{arctg}\dfrac{2v}{\ell\omega'}\)

Impulso angolare: il momento angolare iniziale del punto, \(\overrightarrow{OP} \wedge m_2\vec v\), è perpendicolare all’asse e dopo l’urto deve essere annullato dai supporti dell’asse.

\(\Delta\vec L_{supp} = -\overrightarrow{OP} \wedge m_2\vec v\)

\(|\Delta\vec L_{supp}| = m_2\,\dfrac{\ell}{2}\,v\)

\(\omega' = \dfrac{m_1\omega}{m_1 + 3m_2}\)

\(J = m_2\sqrt{v^2 + \dfrac{\ell^2\omega'^2}{4}}\)

\(\Delta L_{supp} = \dfrac{m_2\ell v}{2}\)

Osservazione. \(\theta\) è l’angolo fra l’impulso e l’asse \(y\). Il vincolo deve fornire anche un impulso angolare perpendicolare all’asse: senza i supporti, l’urto farebbe inclinare l’asse di rotazione.

5Un disco di massa \(m_1\) e raggio \(R\) ruota con velocità angolare \(\omega\) in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale passante per il centro. Da un’altezza \(h\) viene lasciato cadere sul disco un punto materiale di massa \(m_2\). Il punto urta il disco ad una distanza \(d < R\) dal centro del disco e vi rimane attaccato. Determina la velocità angolare del sistema nell’istante successivo all’urto, l’impulso e l’impulso angolare delle reazioni vincolari.

Il punto cade lungo una retta parallela all’asse: il suo momento angolare lungo l’asse è nullo.

\(\tfrac12m_1R^2\omega = \left(\tfrac12m_1R^2 + m_2d^2\right)\omega'\)

\(\;\Rightarrow\; \omega' = \dfrac{m_1R^2}{m_1R^2 + 2m_2d^2}\,\omega\)

Impulso: prima dell’urto il punto ha quantità di moto \(m_2\sqrt{2gh}\) verso il basso, dopo \(m_2d\,\omega'\) in direzione tangente; il centro del disco resta fermo.

\(J_x = m_2d\,\omega'\)

\(J_z = m_2\sqrt{2gh}\) \(x\) tangente, \(z\) verticale verso l’alto

\(J = m_2\sqrt{d^2\omega'^2 + 2gh}\)

\(\theta = \operatorname{arctg}\dfrac{d\,\omega'}{\sqrt{2gh}}\)

\(\Delta\vec L_{supp} = -\overrightarrow{OP} \wedge m_2\vec v\)

\(|\Delta\vec L_{supp}| = m_2\,d\sqrt{2gh}\)

\(\omega' = \dfrac{m_1R^2\omega}{m_1R^2 + 2m_2d^2}\)

\(J = m_2\sqrt{d^2\omega'^2 + 2gh}\)

\(\Delta L_{supp} = m_2d\sqrt{2gh}\)

Osservazione. \(\theta\) è l’angolo fra l’impulso e la verticale. Anche qui i supporti devono assorbire un impulso angolare orizzontale, che altrimenti farebbe inclinare l’asse del disco.

Problemi di urto

6Un anello di raggio \(R = 22\ \text{cm}\) scivola su un piano orizzontale liscio con velocità \(v = 3{,}6\ \text{m/s}\) e contemporaneamente ruota rispetto al proprio centro con velocità angolare \(\omega\). Ad un certo istante esso urta contro un piolo P conficcato nel piano e vi rimane agganciato, in modo tale da poter eventualmente ruotare attorno al piolo; in realtà si verifica che, se la distanza \(r\) (fra il piolo e la retta descritta dal centro) vale 16 cm, dopo l’urto l’anello resta in quiete. Calcola il modulo e il verso della velocità angolare.

\(R = 0{,}22\ \text{m}\)

\(v = 3{,}6\ \text{m/s}\)

\(r = 0{,}16\ \text{m}\)

Durante l’urto la forza del piolo ha momento nullo rispetto al piolo: si conserva il momento angolare rispetto a P (teorema di König: momento del centro di massa più momento di rotazione).

\(L_i = L_f \;\Rightarrow\; rmv - mR^2\omega = 2mR^2\,\omega'\)

\(\omega' = 0\)

\(rmv = mR^2\omega\)

\(\;\Rightarrow\; \omega = \dfrac{rv}{R^2} = \dfrac{0{,}16 \cdot 3{,}6}{0{,}0484}\ \text{rad/s}\)

\(\omega = 11{,}9\ \text{rad/s}\ \text{in verso orario}\)

Osservazione. I due contributi al momento angolare devono annullarsi: il moto del centro dà rispetto a P un momento angolare antiorario, quindi la rotazione dell’anello deve essere oraria.

7Un disco di massa \(m\) e raggio \(R\) scivola senza attrito su un piano orizzontale con velocità \(\vec v\). Ad un certo istante un dentino posto sul bordo del disco urta contro un punto fisso P. Supponendo l’urto elastico, calcola la velocità \(\vec v'\) e la velocità angolare \(\vec\omega\) dopo l’urto.

La forza impulsiva agisce in P: si conserva il momento angolare rispetto a P. La retta del moto del centro dista \(R\) da P.

\(L_i = L_f \;\Rightarrow\; Rmv = Rmv' + \tfrac12mR^2\omega'\)

\(\;\Rightarrow\; v = v' + \tfrac12R\omega'\)

\(K_i = K_f\)

\(\;\Rightarrow\; \tfrac12mv^2 = \tfrac12mv'^2 + \tfrac12\left(\tfrac12mR^2\right)\omega'^2\)

\(\;\Rightarrow\; v^2 = v'^2 + \tfrac12R^2\omega'^2\)

\(\omega' = \dfrac{2(v - v')}{R} \;\Rightarrow\; v^2 = v'^2 + 2(v - v')^2\)

\(3v'^2 - 4vv' + v^2 = 0 \;\Rightarrow\; v' = \dfrac{2v \pm v}{3}\)

La soluzione \(v' = v\) (con \(\omega' = 0\)) corrisponde all’assenza di urto e va scartata.

\(v' = \dfrac v3\)

\(\omega' = \dfrac43\,\dfrac vR\)

Osservazione. Dopo l’urto il dentino ha velocità \(v' - \omega'R = \frac v3 - \frac{4v}{3} = -v\): rimbalza all’indietro con la stessa velocità con cui era arrivato, come in un urto elastico contro una parete.

8Un disco di raggio \(r = 0{,}4\ \text{m}\) è mantenuto fermo in un piano verticale; all’istante \(t = 0\) esso viene lasciato cadere. Quando ha percorso una distanza \(h\) il disco viene agganciato sul bordo ad un asse fisso orizzontale, ortogonale al disegno e passante per O, attorno a cui ruota senza attrito. Calcola il valore di \(h\) necessario affinché il disco compia una rotazione di 270°, fermandosi in tale posizione.

\(r = 0{,}4\ \text{m}\)

\(v = \sqrt{2gh}\) velocità del disco quando viene agganciato

Il bordo viene agganciato nel punto alla stessa quota del centro: la velocità del centro è perpendicolare al raggio che lo unisce a O. Si conserva il momento angolare rispetto a O:

\(rmv = I_O\omega = \tfrac32mr^2\omega\) \(I_O = \tfrac12mr^2 + mr^2\)

\(\omega = \dfrac{2v}{3r} = \dfrac{2}{3r}\sqrt{2gh}\)

Dopo una rotazione di 270° il centro si trova sulla verticale di O, a quota \(r\) sopra la posizione dell’aggancio. Si conserva l’energia:

\(\tfrac12\left(\tfrac32mr^2\right)\omega^2 = mgr\)

\(\;\Rightarrow\; \tfrac34\,mr^2 \cdot \dfrac{4}{9r^2} \cdot 2gh = mgr\)

\(\tfrac23\,h = r\)

\(h = \tfrac32\,r = 0{,}6\ \text{m}\)

Osservazione. L’aggancio è un urto completamente anelastico: si conserva il momento angolare rispetto a O, non l’energia. Il disco si ferma in una posizione di equilibrio instabile, con il centro esattamente sopra O.

9Un’asta AB, di lunghezza \(\ell = 1{,}2\ \text{m}\) e massa \(M = 0{,}5\ \text{kg}\), è incernierata nel suo estremo B ad un perno fisso orizzontale e può oscillare senza attrito in un piano verticale. Nell’istante \(t = 0\) l’asta, che è in quiete in posizione orizzontale, viene lasciata libera di ruotare. Raggiunta la posizione verticale l’asta urta un piccolo oggetto, inizialmente fermo, di massa \(m = 0{,}25\ \text{kg}\), che parte con velocità \(v_0\) orizzontale, mentre l’asta si ferma. Calcola:

la velocità angolare dell’asta un istante prima dell’urto;
la velocità \(v_0\);
l’energia cinetica dissipata nell’urto;
l’impulso durante l’urto.

\(\ell = 1{,}2\ \text{m}\)

\(M = 0{,}5\ \text{kg}\)

\(m = 0{,}25\ \text{kg}\)

\(Mg\,\dfrac{\ell}{2} = \tfrac12\left(\tfrac13M\ell^2\right)\omega^2\)

\(\;\Rightarrow\; \omega = \sqrt{\dfrac{3g}{\ell}} = 4{,}95\ \text{rad/s}\)

b) momento angolare rispetto a B

\(\tfrac13M\ell^2\omega = \ell mv_0\)

\(\;\Rightarrow\; v_0 = \dfrac{M\ell\omega}{3m} = \dfrac{M}{3m}\sqrt{3g\ell} = 3{,}96\ \text{m/s}\)

\(-\Delta E_K = \tfrac16M\ell^2\omega^2 - \tfrac12mv_0^2\)

\({}= \tfrac12Mg\ell - \tfrac12m\,\dfrac{M^2}{9m^2}\,3g\ell\)

\(-\Delta E_K = \tfrac12Mg\ell\left(1 - \dfrac{M}{3m}\right) = 0{,}98\ \text{J}\)

d) impulso della reazione del perno

\(J = mv_0 - M\omega\,\dfrac{\ell}{2}\)

\({}= \dfrac M3\sqrt{3g\ell} - \dfrac M2\sqrt{3g\ell} = -\dfrac M6\sqrt{3g\ell}\)

\(\omega = 4{,}95\ \text{rad/s}\)

\(v_0 = 3{,}96\ \text{m/s}\)

\(\Delta E_K = -0{,}98\ \text{J}\)

\(J = -0{,}495\ \text{N\,s}\)

Osservazione. L’impulso del perno è la differenza fra la quantità di moto finale (dell’oggetto) e quella iniziale (dell’asta, \(M\omega\frac{\ell}{2}\)): il segno meno indica che è opposto alla velocità dell’oggetto. L’oggetto è colpito all’estremo, a distanza \(\ell\) dal perno, più lontano del centro di percussione \(\frac23\ell\).

10Un corpo rigido, di massa \(m = 10{,}5\ \text{kg}\), può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale, di traccia O. Esso viene spostato in modo che la retta congiungente il suo centro di massa CM col punto O sia orizzontale; da questa posizione viene abbandonato con velocità angolare iniziale nulla. Quando il centro di massa si trova sulla verticale passante per O il corpo rigido urta un sistema formato da due cubi a contatto; a seguito dell’urto il corpo rigido si ferma e il sistema di cubi entra in movimento, con moto traslatorio. Le masse dei cubi valgono \(m_1 = 8\ \text{kg}\), \(m_2 = 6\ \text{kg}\), i coefficienti di attrito rispetto al piano di scorrimento sono \(\mu_1 = 0{,}4\), \(\mu_2 = 0{,}6\). Si osserva che i cubi si fermano dopo un tempo \(t = 1{,}45\ \text{s}\). Calcola:

la forza che si esercita tra le superfici di contatto dei due cubi durante il moto;
la velocità iniziale del sistema dei due cubi;
la velocità angolare del corpo rigido al momento dell’urto.

\(m = 10{,}5\ \text{kg}\)

\(m_1 = 8\ \text{kg}\)

\(m_2 = 6\ \text{kg}\)

\(\mu_1 = 0{,}4\)

\(\mu_2 = 0{,}6\)

\(t = 1{,}45\ \text{s}\)

a) \(m_1\) (colpito dal corpo) spinge \(m_2\) con la forza \(F\)

\(\begin{cases} -\mu_1m_1g - F = m_1a \\ F - \mu_2m_2g = m_2a \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; a = -g\,\dfrac{\mu_1m_1 + \mu_2m_2}{m_1 + m_2}\)

\(F = m_2a + \mu_2m_2g\)

\({}= m_2g\left(\mu_2 - \dfrac{\mu_1m_1 + \mu_2m_2}{m_1 + m_2}\right)\)

\({}= \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\,g\,(\mu_2 - \mu_1) = 6{,}72\ \text{N}\)

\(0 = v_0 + at\)

\(\;\Rightarrow\; v_0 = \dfrac{\mu_1m_1 + \mu_2m_2}{m_1 + m_2}\,gt = 6{,}90\ \text{m/s}\)

c) con \(h\) distanza OCM e \(I\) momento d’inerzia rispetto a O

\(I\omega = (m_1 + m_2)\,v_0h\) momento angolare rispetto a O nell’urto

\(mgh = \tfrac12I\omega^2\) conservazione dell’energia nella discesa

\(I\omega = (m_1 + m_2)\,v_0\,\dfrac{I\omega^2}{2mg}\)

\(\;\Rightarrow\; \omega = \dfrac{2mg}{(m_1 + m_2)\,v_0} = 2{,}13\ \text{rad/s}\)

\(F = 6{,}72\ \text{N}\)

\(v_0 = 6{,}90\ \text{m/s}\)

\(\omega = 2{,}13\ \text{rad/s}\)

Osservazione. Si suppone che il corpo urti i cubi all’altezza del suo centro di massa, cioè a distanza \(h\) da O. Non servono né \(h\) né \(I\): si eliminano combinando le due equazioni.

Osservazione. \(F > 0\) perché \(\mu_2 > \mu_1\): il secondo cubo, più frenato, resta a contatto con il primo. Con \(\mu_2 < \mu_1\) i cubi si separerebbero.

11Un’asta rigida di lunghezza \(\ell = 9{,}8\ \text{m}\) e massa trascurabile ha un estremo incernierato nel punto O ad un’altezza \(\ell\) dal piano orizzontale attorno al quale può ruotare mantenendosi in un piano verticale. Al centro ed all’altra estremità dell’asta sono fissati due punti materiali di egual massa \(m\). Sul piano orizzontale, esattamente sotto il punto attorno al quale l’asta ruota, è posto un punto materiale di massa \(M\). L’asta, rilasciata da ferma e in posizione orizzontale, ruotando sotto l’azione della gravità colpisce la massa. Trascurando tutti gli attriti e considerando l’urto perfettamente elastico, determina:

la velocità angolare dell’asta appena prima dell’urto;
la velocità angolare dell’asta subito dopo l’urto;
il rapporto \(\frac Mm\) sapendo che dopo l’urto l’estremo libero dell’asta risale all’indietro fino alla quota \(\frac{\ell}{4}\).

\(\ell = 9{,}8\ \text{m}\)

\(\omega_0 = 0\)

\(I = m\,\dfrac{\ell^2}{4} + m\ell^2 = \tfrac54\,m\ell^2\)

\(mg\ell + mg\,\dfrac{\ell}{2} = \tfrac12I\omega^2\)

\(\;\Rightarrow\; \tfrac32\,mg\ell = \tfrac12 \cdot \tfrac54\,m\ell^2\omega^2\)

\(\omega = \sqrt{\dfrac{12}{5}\,\dfrac g\ell} = 1{,}55\ \text{rad/s}\)

b) momento angolare rispetto a O ed energia cinetica

\(\begin{cases} I\omega = I\omega' + \ell MV \\ \tfrac12I\omega^2 = \tfrac12I\omega'^2 + \tfrac12MV^2 \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; \begin{cases} \omega - \omega' = \dfrac{\ell MV}{I} \\ (\omega + \omega')(\omega - \omega') = \dfrac{MV^2}{I} \end{cases}\)

\(\omega + \omega' = \dfrac V\ell\)

\(\omega - \omega' = \dfrac{4MV}{5m\ell}\) dividendo; \(I = \tfrac54m\ell^2\)

\(\omega' = \dfrac{V}{2\ell}\left(1 - \dfrac{4M}{5m}\right)\)

\(\omega = \dfrac{V}{2\ell}\left(1 + \dfrac{4M}{5m}\right)\)

\(\omega' = \omega\,\dfrac{1 - x}{1 + x}\)

\(x = \dfrac{4M}{5m}\)

Quando l’estremo è a quota \(\frac{\ell}{4}\), cioè \(\frac34\ell\) sotto O, il punto centrale è \(\frac38\ell\) sotto O, a quota \(\frac58\ell\):

\(U = mg\,\dfrac{\ell}{4} + mg\,\dfrac58\,\ell = \tfrac78\,mg\ell\)

\(\tfrac12I\omega'^2 + mg\,\dfrac{\ell}{2} = \tfrac78\,mg\ell\)

\(\;\Rightarrow\; I\omega'^2 = \tfrac34\,mg\ell \;\Rightarrow\; \omega'^2 = \dfrac{3g}{5\ell}\)

\(\omega' = -\sqrt{\dfrac{3g}{5\ell}} = -0{,}77\ \text{rad/s} = -\dfrac\omega2\)

\(\dfrac{1 - x}{1 + x} = -\dfrac12\)

\(\;\Rightarrow\; 2 - 2x = -1 - x \;\Rightarrow\; x = 3\)

\(\omega = 1{,}55\ \text{rad/s}\)

\(\omega' = -0{,}77\ \text{rad/s}\)

\(\dfrac Mm = \dfrac{15}{4}\)

Osservazione. Il segno meno di \(\omega'\) indica che l’asta torna indietro: succede quando \(x > 1\), cioè quando la massa colpita è abbastanza grande.

12Una sbarra omogenea di lunghezza \(L = 0{,}8\ \text{m}\) e massa \(M = 1{,}7\ \text{kg}\) viene lasciata cadere da una posizione per cui il suo baricentro si trova ad un’altezza \(h_{CM} = 55\ \text{cm}\) e l’asse della sbarra forma un angolo \(\theta = 30^\circ\) con la verticale. Non viene impressa alcuna rotazione. Dopo l’urto il punto A rimane fermo e la sbarra inizia a ruotare. Determina:

l’energia dissipata nell’urto;
la velocità dell’estremo B della sbarra quando tocca il piano;
le componenti dell’impulso impresso alla sbarra durante l’urto.

\(L = 0{,}8\ \text{m}\)

\(M = 1{,}7\ \text{kg}\)

\(h_{CM} = 0{,}55\ \text{m}\)

\(\theta = 30^\circ\)

\(h_A = h_{CM} - \dfrac L2\cos\theta = 0{,}2036\ \text{m}\)

\(I_A = \tfrac13ML^2 = 0{,}3627\ \text{kg\,m}^2\)

a) l’estremo A cade da \(h_A\)

\(\tfrac12Mv^2 = Mgh_A = 3{,}392\ \text{J}\)

\(v = \sqrt{2gh_A} = 2{,}00\ \text{m/s}\)

Nell’urto si conserva il momento angolare rispetto ad A: la velocità \(\vec v\) del centro di massa è verticale e ha braccio \(\frac L2\sin\theta\).

\(\dfrac L2\sin\theta\,Mv = \tfrac13ML^2\omega_0\)

\(\;\Rightarrow\; \omega_0 = \dfrac34\,\dfrac vL = 1{,}873\ \text{rad/s}\) \(\sin\theta = \tfrac12\)

\(E_3 = \tfrac12I_A\omega_0^2 = 0{,}636\ \text{J}\)

\(E_3 - \tfrac12Mv^2 = -2{,}76\ \text{J}\)

\(\tfrac12I_A\omega_0^2 + Mg\,\dfrac L2\cos\theta = \tfrac12I_A\omega^2\)

\(\;\Rightarrow\; \omega^2 = \omega_0^2 + \dfrac{3g\cos\theta}{L}\)

\(\omega = \sqrt{\omega_0^2 + \dfrac{3g\cos\theta}{L}} = 5{,}944\ \text{rad/s}\)

\(v_B = \omega L = 4{,}76\ \text{m/s}\)

c) asse \(x\) orizzontale verso B, asse \(z\) verticale verso l’alto

\(\vec q_i = -Mv\,\hat k\)

\(\vec q_f = M\,\dfrac L2\,\omega_0\left(\cos\theta\,\hat x - \sin\theta\,\hat k\right)\)

\(\vec J = \vec q_f - \vec q_i\)

\({}= \tfrac12ML\omega_0\cos\theta\,\hat x + \left(Mv - \tfrac12ML\omega_0\sin\theta\right)\hat k\)

\(E_{diss} = 2{,}76\ \text{J}\)

\(v_B = 4{,}76\ \text{m/s}\)

\(\vec J = (1{,}10\,\hat x + 2{,}76\,\hat k)\ \text{N\,s}\)

Osservazione. Subito dopo l’urto il centro di massa si muove perpendicolarmente alla sbarra con velocità \(\frac L2\omega_0\). La componente verticale dell’impulso coincide numericamente con l’energia dissipata solo per caso: le due grandezze hanno unità diverse.

13Un proiettile di 7,50 g e che si muove alla velocità di 390 m/s colpisce, perpendicolarmente alla sua superficie, uno sportello di legno di 40,0 cm di larghezza, a 30,0 cm dalla cerniera verticale, attorno alla quale esso può ruotare senza attriti. Sapendo che il sistema sportello + proiettile, dopo che quest’ultimo resta conficcato nel legno, inizia a ruotare alla velocità angolare di 3,20 rad/s, trova la massa dello sportello. (n. 62)

(Suggerimento: considera che il proiettile colpisca lo sportello a metà della sua altezza, per cui è come se si trattasse di un’asta che può ruotare attorno a un suo estremo.)

\(m = 7{,}50 \cdot 10^{-3}\ \text{kg}\)

\(v = 390\ \text{m/s}\)

\(\ell = 0{,}400\ \text{m}\)

\(b = 0{,}300\ \text{m}\)

\(\omega = 3{,}20\ \text{rad/s}\)

L’urto è completamente anelastico; si conserva il momento angolare rispetto alla cerniera.

\(bmv = \left(I + mb^2\right)\omega\)

\(I = \tfrac13M\ell^2\)

\(\dfrac{bmv}{\omega} - mb^2 = \tfrac13M\ell^2\)

\(\;\Rightarrow\; M = \dfrac{3}{\ell^2}\left(\dfrac{bmv}{\omega} - mb^2\right)\)

\({}= \dfrac{3bm}{\ell^2}\left(\dfrac v\omega - b\right)\)

\(M = \dfrac{3 \cdot 0{,}300 \cdot 0{,}00750}{0{,}160}\,(121{,}9 - 0{,}3)\ \text{kg}\)

\(M = 5{,}13\ \text{kg}\)

Osservazione. Il libro riporta 5,12 kg: la differenza è dovuta agli arrotondamenti intermedi.