Esercizi – moto di rotolamento

Esercizi sulla lezione L303. Nel puro rotolamento il punto di contatto C è fermo: \(v_{CM} = \omega r\) e \(a_{CM} = \alpha r\). Il moto si studia con due equazioni: la legge del moto del centro di massa \(\vec F_{tot} = m\vec a_{CM}\) e la seconda legge per le rotazioni attorno al centro di massa \(\tau_{CM} = I_{CM}\,\alpha\). Si usa \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\) dove non indicato diversamente.

Dinamica del rotolamento

1Un corpo di massa \(m\), raggio \(r\) e momento d’inerzia \(I\) rispetto al proprio asse rotola senza strisciare su un piano orizzontale, sotto l’azione di una forza orizzontale \(\vec F\) applicata nel centro (per esempio la ruota di un rimorchio).

Calcola l’accelerazione del centro di massa e la forza di attrito.
Qual è il massimo valore di \(F\) compatibile con il puro rotolamento, se il coefficiente di attrito statico è \(\mu_s\)?

\(\begin{cases} F - f = ma_{CM} \\ N - mg = 0 \\ rf = I\alpha = I\,\dfrac{a_{CM}}{r} \end{cases}\)

\(rF - rf = mra_{CM}\)

\(\;\Rightarrow\; rF = a_{CM}\left(mr + \dfrac Ir\right)\) sommando prima e terza equazione, moltiplicate per \(r\)

\(a_{CM} = \dfrac{F}{m\left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)}\)

\(f = \dfrac{I}{r^2}\,a_{CM} = \dfrac{F}{1 + \frac{mr^2}{I}}\)

\(f \le \mu_sN = \mu_smg\)

\(\;\Rightarrow\; F \le \mu_smg\left(1 + \dfrac{mr^2}{I}\right) = F_{lim}\)

\(a_{CM} = \dfrac{F}{m\left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)}\)

\(F_{lim} = \mu_smg\left(1 + \dfrac{mr^2}{I}\right)\)

Osservazione. L’attrito è rivolto all’indietro e frena la traslazione, ma è proprio il suo momento a far ruotare il corpo.

2Lo stesso corpo è ora una ruota motrice: invece della forza, al suo asse è applicato un momento \(\tau\) (per esempio quello del motore di un’automobile).

Calcola l’accelerazione del centro di massa e la forza di attrito.
Qual è il massimo momento compatibile con il puro rotolamento?
Caso generale: sulla ruota agiscono sia la forza \(\vec F\) nel centro sia il momento \(\tau\). Calcola \(a_{CM}\) e \(f\).

\(\begin{cases} f = ma_{CM} \\ N - mg = 0 \\ \tau - rf = I\,\dfrac{a_{CM}}{r} \end{cases} \;\Rightarrow\; \tau = a_{CM}\left(mr + \dfrac Ir\right)\)

\(a_{CM} = \dfrac{\tau}{mr\left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)}\)

\(f = \dfrac{\tau}{r\left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)}\)

\(f \le \mu_smg\)

\(\;\Rightarrow\; \tau \le \mu_smgr\left(1 + \dfrac{I}{mr^2}\right) = \tau_{lim}\)

\(\begin{cases} F + f = ma_{CM} \\ \tau - rf = I\,\dfrac{a_{CM}}{r} \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; rF + \tau = a_{CM}\left(mr + \dfrac Ir\right)\)

\(a_{CM} = \dfrac1m\,\dfrac{F + \frac\tau r}{1 + \frac{I}{mr^2}}\)

\(f = ma_{CM} - F = \dfrac{\frac\tau r - \frac{I}{mr^2}\,F}{1 + \frac{I}{mr^2}}\)

\(f = 0 \;\text{ se }\; \tau = \dfrac{I F}{mr}\)

\((a_{CM} = \tfrac Fm)\)

Osservazione. Per la ruota motrice l’attrito è rivolto in avanti: è la forza esterna che fa accelerare l’automobile. Se il momento supera \(\tau_{lim}\) le ruote slittano («sgommano»).

3Un corpo di massa \(m\), raggio \(r\) e momento d’inerzia \(I = mk^2\) (\(k\) si chiama raggio d’inerzia) rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo \(\theta\).

Calcola l’accelerazione del centro di massa e l’attrito.
Confronta l’accelerazione di sfera piena, sfera cava, cilindro pieno e anello.
Qual è la massima inclinazione compatibile con il puro rotolamento?

\(\begin{cases} mg\sin\theta - f = ma_{CM} \\ rf = mk^2\,\dfrac{a_{CM}}{r} \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; mgr\sin\theta = ma_{CM}\left(r + \dfrac{k^2}{r}\right)\)

\(a_{CM} = \dfrac{g\sin\theta}{1 + \frac{k^2}{r^2}}\)

\(f = \dfrac{mg\sin\theta}{1 + \frac{r^2}{k^2}}\)

\(\text{sfera piena: } k^2 = \tfrac25r^2\)

\(\;\Rightarrow\; a_{CM} = \tfrac57\,g\sin\theta \quad (0{,}714)\)

\(\text{sfera cava: } k^2 = \tfrac23r^2\)

\(\;\Rightarrow\; a_{CM} = \tfrac35\,g\sin\theta \quad (0{,}600)\)

\(\text{cilindro pieno: } k^2 = \tfrac12r^2\)

\(\;\Rightarrow\; a_{CM} = \tfrac23\,g\sin\theta \quad (0{,}667)\)

\(\text{anello: } k^2 = r^2 \;\Rightarrow\; a_{CM} = \tfrac12\,g\sin\theta \quad (0{,}500)\)

\(\dfrac{mg\sin\theta}{1 + \frac{r^2}{k^2}} \le \mu_smg\cos\theta\)

\(\;\Rightarrow\; \operatorname{tg}\theta \le \mu_s\left(1 + \dfrac{r^2}{k^2}\right)\)

Arriva prima in fondo la sfera piena, poi il cilindro, la sfera cava e infine l’anello.

Osservazione. L’accelerazione non dipende né dalla massa né dal raggio, ma solo dalla forma del corpo (il rapporto \(k/r\)): conta come è distribuita la massa.

4Un anello di acciaio (\(m = 6\ \text{kg}\), \(r = 0{,}12\ \text{m}\)) può scendere lungo un piano inclinato di acciaio (coefficiente di attrito statico \(\mu = 0{,}22\)).

Calcola quanto vale l’angolo del piano inclinato con l’orizzontale oltre cui non è possibile un moto di puro rotolamento.
Partendo da fermo e con il centro a quota \(h = 0{,}98\ \text{m}\), l’anello scende lungo tutto il piano inclinato con moto di puro rotolamento. Calcola la velocità angolare finale dell’anello.

\(m = 6\ \text{kg}\)

\(r = 0{,}12\ \text{m}\)

\(\mu = 0{,}22\)

\(h = 0{,}98\ \text{m}\)

\(\begin{cases} rf = mr^2\,\dfrac ar \\ N - mg\cos\theta = 0 \\ mg\sin\theta - f = ma \end{cases} \;\Rightarrow\; f = ma\)

\(a = \tfrac12\,g\sin\theta\)

\(f = \tfrac12\,mg\sin\theta \le \mu N = \mu mg\cos\theta\)

\(\;\Rightarrow\; \operatorname{tg}\theta \le 2\mu\)

\(\theta_{max} = \operatorname{arctg}(2\mu) = \operatorname{arctg}0{,}44 = 23{,}7^\circ\)

b) il centro scende di \(h - r\)

\(s = \dfrac{h - r}{\sin\theta}\)

\(v^2 = 2as = 2 \cdot \tfrac12\,g\sin\theta\,\dfrac{h - r}{\sin\theta} = g(h - r)\)

\(\omega = \dfrac vr = \dfrac1r\sqrt{g(h - r)} = \dfrac{\sqrt{9{,}8 \cdot 0{,}86}}{0{,}12}\ \text{rad/s}\)

\(\theta_{max} = 23{,}7^\circ\)

\(\omega = 24{,}2\ \text{rad/s}\)

Osservazione. Al punto b) si arriva più in fretta con la conservazione dell’energia: \(mg(h - r) = \tfrac12mv^2 + \tfrac12mr^2\omega^2 = mv^2\). La velocità finale non dipende dall’inclinazione del piano.

5Un disco, di raggio \(r\) e massa \(m\), scende srotolando un filo che non slitta rispetto al bordo del disco (yo-yo). Determina l’accelerazione del centro di massa e la tensione del filo.

\(\begin{cases} mg - T = ma_{CM} \\ Tr = \tfrac12mr^2\,\dfrac{a_{CM}}{r} \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; \begin{cases} mgr - Tr = mra_{CM} \\ Tr = \tfrac12mra_{CM} \end{cases}\)

\(mgr = \tfrac32\,mra_{CM} \;\Rightarrow\; a_{CM} = \tfrac23\,g\)

\(T = \tfrac12ma_{CM} = \tfrac13\,mg\)

\(v_{CM} = \tfrac23\,gt\)

\(\omega = \dfrac{v_{CM}}{r} = \dfrac{2gt}{3r}\)

\(a_{CM} = \tfrac23\,g\)

\(T = \tfrac13\,mg\)

Osservazione. Il punto del disco a contatto con il filo è fermo, come il punto di contatto di una ruota sul pavimento: è un rotolamento lungo il filo. Lo stesso risultato si ottiene derivando l’energia meccanica rispetto al tempo (pagina L303E8).

6Un cilindro pieno, di massa \(m_1 = 20\ \text{kg}\) e raggio \(r = 0{,}25\ \text{m}\), rotola senza strisciare su un piano orizzontale; all’asse del cilindro è applicato il momento costante \(\tau = 30\ \text{N\,m}\) ed è appeso, tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile, un corpo di massa \(m_2 = 10\ \text{kg}\), come in figura. Calcola l’accelerazione del centro di massa del cilindro, la tensione del filo e il minimo valore ammesso per il coefficiente di attrito.

\(m_1 = 20\ \text{kg}\)

\(r = 0{,}25\ \text{m}\)

\(\tau = 30\ \text{N\,m}\)

\(m_2 = 10\ \text{kg}\)

\(\begin{cases} T - m_2g = m_2a \\ f - T = m_1a \\ \tau - rf = \tfrac12m_1r^2\,\dfrac ar \end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} T - m_2g = m_2a \\ f - T = m_1a \\ \dfrac\tau r - f = \tfrac12m_1a \end{cases}\)

\(\dfrac\tau r - m_2g = a\left(m_2 + \tfrac32m_1\right)\) sommando

\(a = \dfrac{\frac\tau r - m_2g}{\frac32m_1 + m_2}\)

\({}= \dfrac{120 - 98}{40}\ \text{m/s}^2 = 0{,}55\ \text{m/s}^2\)

\(T = m_2(g + a) = 103{,}5\ \text{N}\)

\(f = T + m_1a = 114{,}5\ \text{N}\)

\(f \le \mu m_1g \;\Rightarrow\; \mu \ge \dfrac{f}{m_1g} = 0{,}584\)

\(a = 0{,}55\ \text{m/s}^2\)

\(T = 104\ \text{N}\)

\(\mu_{min} = 0{,}58\)

7Un anello di massa \(m = 3\ \text{kg}\), disposto verticalmente sopra un piano orizzontale, è sottoposto all’azione della forza orizzontale \(F = 12\ \text{N}\), applicata nel centro, ed è tenuto fermo da un filo come mostrato in figura.

Calcola il valore della tensione del filo.
Verifica che l’equilibrio è possibile.
Si recide il filo e l’anello entra in movimento. Calcola il valore minimo del coefficiente di attrito statico affinché il moto sia di puro rotolamento.

\(m = 3\ \text{kg}\)

\(F = 12\ \text{N}\)

a) il filo è legato all’estremo sinistro del diametro orizzontale

\(\begin{cases} F - \dfrac{T}{\sqrt2} - f = 0 \\ r\,\dfrac{T}{\sqrt2} - rf = 0 \end{cases}\) forze orizzontali; momenti rispetto al centro

\(f = \dfrac{T}{\sqrt2}\)

\(F = \dfrac{2}{\sqrt2}\,T \;\Rightarrow\; T = \dfrac{F}{\sqrt2} = 8{,}49\ \text{N}\)

\(N - mg - \dfrac{T}{\sqrt2} = 0\)

\(\;\Rightarrow\; N = mg + \tfrac12F = 35{,}4\ \text{N}\)

\(f = F - \dfrac{T}{\sqrt2} = \tfrac12F = 6\ \text{N}\)

\(f \le \mu N \;\Rightarrow\; \mu \ge \dfrac{6}{35{,}4} = 0{,}169\)

L’equilibrio è possibile se il coefficiente di attrito statico è almeno 0,17.

\(\begin{cases} F - f = ma \\ N = mg \\ rf = mr^2\,\dfrac ar \end{cases} \;\Rightarrow\; f = ma\)

\(F = 2ma\)

\(a = \dfrac{F}{2m}\)

\(f = \dfrac F2 \le \mu mg \;\Rightarrow\; \mu \ge \dfrac{F}{2mg} = 0{,}204\)

\(T = 8{,}49\ \text{N}\)

\(\mu_{eq} \ge 0{,}17\)

\(\mu_{min} = 0{,}20\)

8Una sfera, di raggio \(R = 15\ \text{cm}\) e massa \(m_1 = 24\ \text{kg}\), è poggiata sopra un piano orizzontale; il coefficiente di attrito statico è \(\mu_s = 0{,}2\). Nella sfera è praticata una piccola scanalatura, di raggio \(r = 6\ \text{cm}\), trascurabile a tutti gli effetti. Nella scanalatura è avvolto un filo inestensibile che sostiene un corpo di massa \(m_2\), come mostrato in figura. Tramite la forza orizzontale \(F\), applicata nella scanalatura, è possibile mantenere il sistema in equilibrio statico.

Calcola il valore massimo di \(m_2\) che consente l’equilibrio del sistema e il corrispondente valore di \(F\).
Si recide il legame con \(m_2\) e la sfera avanza sotto l’azione di \(F\). Determina se il moto è di puro rotolamento.

\(m_1 = 24\ \text{kg}\)

\(R = 0{,}15\ \text{m}\)

\(\mu_s = 0{,}2\)

\(r = 0{,}06\ \text{m}\)

\(\begin{cases} m_2g - T = 0 \\ F + f - T = 0 \\ N - m_1g = 0 \\ rF + rT - Rf = 0 \end{cases}\)

\(T = m_2g\)

\(F = m_2g - f\)

\(rm_2g - rf + rm_2g = Rf\)

\(\;\Rightarrow\; 2rm_2g = f(r + R)\)

\(f \le \mu_sm_1g\)

\(\;\Rightarrow\; m_2 \le \tfrac12\,\mu_sm_1\left(1 + \dfrac Rr\right) = 8{,}4\ \text{kg}\)

\(F = (m_2 - \mu_sm_1)\,g\)

\({}= \tfrac12\,\mu_sm_1g\left(\dfrac Rr - 1\right) = 35{,}28\ \text{N}\)

\(\begin{cases} F + f = m_1a \\ rF - Rf = \tfrac25m_1R^2\,\dfrac aR \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; \begin{cases} F + f = m_1a \\ \dfrac rR\,F - f = \tfrac25m_1a \end{cases}\)

\(F\left(\dfrac rR + 1\right) = \tfrac75\,m_1a\)

\(\;\Rightarrow\; m_1a = \tfrac57\,F\left(\dfrac rR + 1\right)\)

\(f = m_1a - F = F\left(-\tfrac27 + \tfrac57\,\dfrac rR\right)\)

\({}= F\left(-\tfrac27 + \tfrac57 \cdot 0{,}4\right) = 0\)

\(m_{2,max} = 8{,}4\ \text{kg}\), \(F = 35{,}3\ \text{N}\); poiché \(f = 0 < f_{max} = \mu_sm_1g = 47{,}0\ \text{N}\), il moto è di puro rotolamento.

Osservazione. Con \(r/R = 0{,}4\) la forza \(F\) è applicata proprio nel punto in cui il corpo rotola senza bisogno di attrito. Per una sfera questo punto è a quota \(\tfrac75R\) dal piano, cioè a \(\tfrac25R\) sopra il centro (vedi anche la pagina sull’impulso angolare, L303E6).

9Un cilindro di raggio \(R = 10\ \text{cm}\) e massa \(m = 5\ \text{kg}\) è posto sopra un piano orizzontale; il coefficiente di attrito vale \(\mu = 0{,}3\). In corrispondenza del centro del cilindro è scavata una fessura sottilissima in modo tale da ridurre in quella zona il raggio al valore \(r = 6{,}6\ \text{cm}\); si supponga che questo fatto non alteri il momento d’inerzia del cilindro. Al cilindro sono applicate le forze \(F_1 = 9{,}5\ \text{N}\) e \(F_2\), come mostrato in figura.

Calcola quanto deve valere \(F_2\) affinché il cilindro resti in equilibrio.
All’istante \(t = 0\) \(F_1\) cessa di agire mentre \(F_2\) ha il valore trovato. Di’ se il cilindro può compiere un moto di puro rotolamento oppure no.

\(m = 5\ \text{kg}\)

\(R = 0{,}10\ \text{m}\)

\(\mu = 0{,}3\)

\(r = 0{,}066\ \text{m}\)

\(F_1 = 9{,}5\ \text{N}\)

a) momenti rispetto al centro

\(\begin{cases} RF_2 - rF_1 - Rf = 0 \\ F_1 - f = 0 \\ F_2 + N - mg = 0 \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; \begin{cases} RF_2 = (r + R)\,F_1 \\ f = F_1 \\ N = mg - F_2 \end{cases}\)

\(F_2 = \left(1 + \dfrac rR\right)F_1 = 15{,}77\ \text{N}\)

\(N = 33{,}23\ \text{N}\)

\(f = 9{,}5\ \text{N} \le f_{max} = \mu N = 9{,}969\ \text{N}\)

\(\begin{cases} RF_2 - Rf = \tfrac12mR^2\,\dfrac aR \\ N - mg + F_2 = 0 \\ f = ma \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; F_2 - f = \tfrac12ma\)

\(F_2 = \tfrac32\,ma \;\Rightarrow\; a = \dfrac{2F_2}{3m}\)

\(f = \tfrac23\,F_2 = 10{,}51\ \text{N}\)

\(f_{max} = \mu N = 9{,}97\ \text{N} < f\)

\(F_2 = 15{,}8\ \text{N}\); senza \(F_1\) servirebbe un attrito di 10,5 N, maggiore del massimo (9,97 N): il cilindro non può rotolare senza strisciare.

10Un disco di massa \(M = 8\ \text{kg}\) e raggio \(R\) è posto sopra una guida inclinata con angolo \(\theta = 30^\circ\); all’asse del disco è collegato un filo, parallelo alla guida, che sostiene la massa \(m = 6\ \text{kg}\). Il filo è teso con la massa \(m\) bloccata a distanza \(h = 1{,}5\ \text{m}\) dal suolo. All’istante \(t = 0\) si lascia libera la massa \(m\) che inizia a scendere, facendo contemporaneamente salire il disco lungo la guida. Il moto del disco è di puro rotolamento. Calcola:

l’accelerazione con cui scende la massa \(m\);
la velocità con cui la massa \(m\) tocca il suolo;
la quota massima raggiunta dal centro del disco, misurata rispetto alla quota che lo stesso centro aveva per \(t = 0\).

\(M = 8\ \text{kg}\)

\(\theta = 30^\circ\)

\(m = 6\ \text{kg}\)

\(h = 1{,}5\ \text{m}\)

\(\begin{cases} mg - T = ma \\ T - Mg\sin\theta - f = Ma \\ N - Mg\cos\theta = 0 \\ Rf = \tfrac12MR^2\,\dfrac aR \;\Rightarrow\; f = \tfrac12Ma \end{cases}\)

\(mg - Mg\sin\theta = a\left(m + \tfrac32M\right)\)

\(\;\Rightarrow\; a = \dfrac{m - M\sin\theta}{m + \frac32M}\,g = \dfrac19\,g = 1{,}09\ \text{m/s}^2\)

\(v = \sqrt{2ah} = \tfrac13\sqrt{2gh} = 1{,}81\ \text{m/s}\)

c) toccato il suolo, il filo si allenta e il disco prosegue da solo

\(h_1 = h\sin\theta = 0{,}75\ \text{m}\) salita mentre \(m\) scende di \(h\)

\(\begin{cases} -Mg\sin\theta - f = Ma \\ Rf = \tfrac12MR^2\,\dfrac aR \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; a = -\tfrac23\,g\sin\theta = -\tfrac13\,g\)

\(s = \dfrac{v^2}{2|a|} = \dfrac{\frac29gh}{\frac23g} = \dfrac h3\)

\(h_2 = s\sin\theta = \dfrac h6 = 0{,}25\ \text{m}\)

\(h_d = h_1 + h_2 = \tfrac12h + \tfrac16h = \tfrac23h\)

\(a = 1{,}09\ \text{m/s}^2\)

\(v = 1{,}81\ \text{m/s}\)

\(h_d = 1{,}0\ \text{m}\)

Osservazione. Nel tratto in salita senza filo il disco rallenta, ma continua a rotolare: l’attrito statico, ora rivolto verso il basso lungo la guida, fa diminuire la velocità angolare insieme a quella del centro.

11Una piattaforma avanza con accelerazione \(a_t = 3\ \text{m/s}^2\). Su di essa è poggiato un cilindro di massa \(m\) e raggio \(r\). Nell’ipotesi che il cilindro rotoli senza strisciare sulla piattaforma, calcola:

l’accelerazione \(a\) del cilindro rispetto al suolo;
l’accelerazione \(a_r\) del cilindro rispetto alla piattaforma;
il valore minimo del coefficiente di attrito statico.

\(a_t = 3\ \text{m/s}^2\)

L’unica forza orizzontale sul cilindro è l’attrito della piattaforma, rivolto in avanti. Rispetto alla piattaforma il cilindro rotola all’indietro: \(a = a_r + a_t\) con \(a_r = -r\alpha\).

\(\begin{cases} f = ma \\ rf = \tfrac12mr^2\,\dfrac{a_t - a}{r} \end{cases} \;\Rightarrow\; f = \dfrac m2\,(a_t - a)\)

\(ma = \dfrac m2\,(a_t - a) \;\Rightarrow\; a = \tfrac13\,a_t = 1\ \text{m/s}^2\)

\(a_r = a - a_t = -2\ \text{m/s}^2\)

\(f = \tfrac13\,ma_t \le \mu mg \;\Rightarrow\; \mu \ge \dfrac{a_t}{3g} = 0{,}102\)

\(a = 1\ \text{m/s}^2\)

\(a_r = -2\ \text{m/s}^2\)

\(\mu_{min} = 0{,}10\)

Energia nel rotolamento

12Una sfera omogenea pesante, di raggio \(r\), rotola senza strisciare su di una guida la quale, dopo un tratto rettilineo orizzontale, assume la forma di una circonferenza di raggio \(R\) posta in un piano verticale. Determina, in assenza di dissipazioni d’energia, il minimo valore della velocità che si deve imprimere al centro della sfera perché essa non abbandoni mai la guida, compiendo cioè il cosiddetto giro della morte.

\(K = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 \cdot \tfrac25mr^2\,\dfrac{v^2}{r^2} = \tfrac7{10}\,mv^2\) \(v = \omega r\)

Il centro della sfera parte a quota \(r\) e in B, il punto più alto, si trova a quota \(2R - r\):

\(\tfrac7{10}\,mv_0^2 + mgr = \tfrac7{10}\,mv_B^2 + mg(2R - r)\)

\(\;\Rightarrow\; v_B^2 = v_0^2 - \tfrac{20}{7}\,g(R - r)\)

In B il centro descrive una circonferenza di raggio \(R - r\); la forza centripeta è data dal peso e dalla reazione \(N\) della guida, entrambi verso il basso:

\(N + mg = m\,\dfrac{v_B^2}{R - r}\)

\(\;\Rightarrow\; N = m\left(\dfrac{v_B^2}{R - r} - g\right) \ge 0\)

\(v_{B,min}^2 = g(R - r)\)

\(\;\Rightarrow\; v_0^2 - \tfrac{20}{7}\,g(R - r) = g(R - r)\)

\(v_{0,min} = \sqrt{\tfrac{27}{7}\,g(R - r)}\)

Osservazione. Per un punto materiale che scivola senza attrito si avrebbe \(v_0 = \sqrt{5gR}\): la sfera che rotola ha bisogno di una velocità iniziale maggiore, perché una parte dell’energia cinetica è energia di rotazione.

13Una sfera piena rotola senza slittare su una superficie orizzontale con una velocità di 4,50 m/s quando inizia a salire per un piano inclinato che forma un angolo di 22,5° con l’orizzontale. Calcola qual è la velocità della sfera quando è salita di 3,00 m sul piano inclinato.

\(v_0 = 4{,}50\ \text{m/s}\)

\(\theta = 22{,}5^\circ\)

\(s = 3{,}00\ \text{m}\)

\(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\)

\(K = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 \cdot \tfrac25mR^2\,\dfrac{v^2}{R^2} = \tfrac7{10}\,mv^2\)

\(\tfrac7{10}\,mv_0^2 = \tfrac7{10}\,mv^2 + mgs\sin\theta\)

\(\;\Rightarrow\; v = \sqrt{v_0^2 - \tfrac{10}{7}\,gs\sin\theta}\)

\(v = \sqrt{20{,}25 - 16{,}09}\ \text{m/s} = \sqrt{4{,}16}\ \text{m/s}\)

\(v = 2{,}04\ \text{m/s}\)

14Una sfera cava scende rotolando senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo di 42,0° rispetto all’orizzontale. Calcola l’accelerazione del centro di massa della sfera.

\(I = \tfrac23mR^2\)

\(\theta = 42{,}0^\circ\)

\(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\)

\(K = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 \cdot \tfrac23mR^2\,\dfrac{v^2}{R^2} = \tfrac56\,mv^2\)

\(mgh = \tfrac56\,mv^2 \;\Rightarrow\; v^2 = \tfrac65\,gh\) partendo da ferma

\(v^2 = 2as\)

\(h = s\sin\theta \;\Rightarrow\; \tfrac65\,gs\sin\theta = 2as\)

\(a = \tfrac35\,g\sin\theta = \tfrac35 \cdot 9{,}81 \cdot \sin42{,}0^\circ\ \text{m/s}^2\)

\(a = 3{,}94\ \text{m/s}^2\)

Osservazione. Lo stesso risultato si trova con la formula generale \(a = \dfrac{g\sin\theta}{1 + k^2/r^2}\) con \(k^2 = \tfrac23r^2\).

15Una piccola sfera è lasciata rotolare senza strisciare dentro un contenitore di forma semisferica e di raggio \(R = 0{,}50\ \text{m}\). Inizialmente la sfera è ferma. Calcola la velocità con cui transita nel punto più basso. (n. 54)

\(R = 0{,}50\ \text{m}\)

\(v_A = 0\)

\(K = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 \cdot \tfrac25mr^2\,\dfrac{v^2}{r^2} = \tfrac7{10}\,mv^2\)

\(mgR = \tfrac7{10}\,mv^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\tfrac{10}{7}\,gR}\)

\(v = 2{,}6\ \text{m/s}\)

Osservazione. La sfera è piccola rispetto al contenitore: il suo centro scende di \(R - r \approx R\).

16Un cilindro di raggio \(\frac R4\) rotola senza strisciare dentro un tubo di raggio \(R\). Nella metà di destra del tubo l’attrito è nullo. Se nell’istante iniziale il cilindro è fermo e la quota del suo centro di massa è \(\frac R2\) (misurata dal fondo del tubo), determina la posizione di arrivo del cilindro e la velocità angolare \(\omega\) nel punto più basso.

da A a B: puro rotolamento

\(I = \tfrac12m\left(\dfrac R4\right)^2 = \tfrac1{32}mR^2\)

\(v = \omega\,\dfrac R4\)

\(mg\,\dfrac R2 = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 \cdot \tfrac1{32}mR^2\,\dfrac{16v^2}{R^2} + mg\,\dfrac R4\)

\(mg\,\dfrac R4 = \tfrac34\,mv^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{gR}{3}}\)

\(\omega = \dfrac{4v}{R} = 4\sqrt{\dfrac{g}{3R}}\)

da B in poi: senza attrito

Nessuna forza ha momento rispetto al centro del cilindro: la velocità angolare resta costante e anche l’energia di rotazione resta costante. Solo l’energia cinetica di traslazione si trasforma in energia potenziale.

\(K_{rot} = \tfrac12I\omega^2 = \tfrac1{12}\,mgR\) costante

\(\tfrac12m\,\dfrac{gR}{3} + mg\,\dfrac R4 = mgh\)

\(\;\Rightarrow\; h = \dfrac R6 + \dfrac R4 = \dfrac{5}{12}\,R\)

\(\omega_B = 4\sqrt{\dfrac{g}{3R}}\)

\(h = \dfrac5{12}\,R = \dfrac56\,h_{iniziale}\)

Osservazione. Il cilindro si ferma più in basso della quota di partenza anche se non c’è dissipazione: una parte dell’energia resta «intrappolata» nella rotazione, che a destra non può più rallentare.