Esercizi – seconda legge della dinamica per le rotazioni

Esercizi sulla lezione L303. Per un corpo che ruota attorno a un asse fisso \(\tau = I\alpha\); il lavoro di un momento costante è \(W = \tau\,\Delta\theta\), la potenza \(P = \tau\,\omega\) e il teorema dell’energia cinetica diventa \(W = \Delta\left(\tfrac12 I\omega^2\right)\). Quando un filo non slitta su una carrucola di raggio \(r\): \(a = \alpha r\). Si usa \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\).

Carrucole e pulegge

1A una carrucola di raggio \(r\), massa \(m\) e momento d’inerzia \(I\) rispetto all’asse orizzontale passante per il suo centro, sono sospese tramite un filo due masse \(m_1\) e \(m_2\), con \(m_1 > m_2\). Calcola l’accelerazione delle masse, le tensioni \(T_1\) e \(T_2\) e la reazione sull’asse della carrucola. Studia in particolare il caso \(m \approx 0\). Si suppone che il filo non slitti e che non ci sia attrito sull’asse.

\(\begin{cases} m_1g - T_1 = m_1a \\ T_2 - m_2g = m_2a \\ rT_1 - rT_2 = I\alpha = I\,\dfrac ar \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; \begin{cases} m_1g - T_1 = m_1a \\ T_2 - m_2g = m_2a \\ T_1 - T_2 = \dfrac{I}{r^2}\,a \end{cases}\)

\((m_1 - m_2)\,g = a\left(m_1 + m_2 + \dfrac{I}{r^2}\right)\) sommando le tre equazioni

\(a = \dfrac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2 + \frac{I}{r^2}}\)

\(T_1 = m_1(g - a) = m_1g\,\dfrac{2m_2 + \frac{I}{r^2}}{m_1 + m_2 + \frac{I}{r^2}}\)

\(T_2 = m_2(g + a) = m_2g\,\dfrac{2m_1 + \frac{I}{r^2}}{m_1 + m_2 + \frac{I}{r^2}}\)

La carrucola è ferma: la reazione dell’asse equilibra le due tensioni e il peso della carrucola.

\(R = T_1 + T_2 + mg\)

\({}= (m_1 + m_2 + m)\,g - (m_1 - m_2)\,a\)

caso \(m \approx 0\), quindi \(I \approx 0\)

\(a = g\,\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\)

\(T_1 = T_2 = \dfrac{2m_1m_2\,g}{m_1 + m_2}\)

\(R = \dfrac{4m_1m_2\,g}{m_1 + m_2}\)

Osservazione. Con una carrucola dotata di massa le due tensioni sono diverse: è proprio la differenza \(T_1 - T_2\) a produrre il momento che fa accelerare la carrucola. Le tensioni sono uguali solo se la carrucola ha massa trascurabile.

2Su un piano orizzontale liscio è posata una massa \(m = 10\ \text{kg}\). Essa viene messa in movimento tramite un filo che si avvolge su una puleggia di raggio \(r = 20\ \text{cm}\). Questa è messa in rotazione dalla discesa, sotto l’azione del peso, di una massa \(M = 4\ \text{kg}\), a cui è collegata da un filo avvolto su una puleggia di raggio \(R = 50\ \text{cm}\), coassiale e rigidamente fissata alla precedente. Il momento d’inerzia del sistema delle due pulegge rispetto al comune asse di rotazione vale \(I = 6\ \text{kg\,m}^2\). Calcola:

la velocità \(v\) di \(M\) dopo che è scesa di \(h = 1\ \text{m}\);
le tensioni dei due fili durante il movimento;
il valore di \(v\) se tra \(m\) e il piano ci fosse un coefficiente di attrito \(\mu = 0{,}25\).

\(m = 10\ \text{kg}\)

\(r = 0{,}20\ \text{m}\)

\(M = 4\ \text{kg}\)

\(R = 0{,}50\ \text{m}\)

\(I = 6\ \text{kg\,m}^2\)

\(h = 1\ \text{m}\)

\(\begin{cases} T_1 = ma_1 \\ Mg - T_2 = Ma_2 \\ -rT_1 + RT_2 = I\alpha \end{cases}\)

\(a_1 = r\alpha\)

\(a_2 = R\alpha\)

\(\begin{cases} rT_1 = mr^2\alpha \\ RMg - RT_2 = MR^2\alpha \\ -rT_1 + RT_2 = I\alpha \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; RMg = \alpha\left(mr^2 + MR^2 + I\right)\)

\(\alpha = \dfrac{RMg}{mr^2 + MR^2 + I}\)

\({}= \dfrac{0{,}50 \cdot 4 \cdot 9{,}8}{0{,}40 + 1{,}0 + 6}\ \text{rad/s}^2 = 2{,}649\ \text{rad/s}^2\)

\(a_2 = R\alpha = 1{,}32\ \text{m/s}^2\)

\(v = \sqrt{2a_2h} = 1{,}63\ \text{m/s}\)

\(T_1 = mr\alpha = 5{,}30\ \text{N}\)

\(T_2 = M(g - R\alpha) = 33{,}9\ \text{N}\)

\(\begin{cases} T_1 - \mu mg = ma_1 \\ Mg - T_2 = Ma_2 \\ -rT_1 + RT_2 = I\alpha \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; MgR - \mu mgr = \alpha\left(mr^2 + MR^2 + I\right)\)

\(\alpha = \dfrac{MgR - \mu mgr}{mr^2 + MR^2 + I} = 1{,}986\ \text{rad/s}^2\)

\(a_2 = R\alpha = 0{,}993\ \text{m/s}^2\)

\(v = \sqrt{2a_2h} = 1{,}41\ \text{m/s}\)

\(v = 1{,}63\ \text{m/s}\)

\(T_1 = 5{,}30\ \text{N}\)

\(T_2 = 33{,}9\ \text{N}\)

\(v_\mu = 1{,}41\ \text{m/s}\)

3Un argano fa salire con velocità costante \(v = 0{,}5\ \text{m/s}\) un corpo di massa \(m = 100\ \text{kg}\), secondo lo schema della figura. Calcola:

la tensione della fune;
la potenza fornita dal motore.

\(v = 0{,}5\ \text{m/s}\)

\(m = 100\ \text{kg}\)

a) il corpo sale a velocità costante

\(T - mg = 0 \;\Rightarrow\; T = mg = 980\ \text{N}\)

b) il tamburo ruota a velocità angolare costante

\(\tau - Tr = 0 \;\Rightarrow\; \tau = Tr\)

\(P = \tau\,\omega = Tr\omega = Tv = mgv = 490\ \text{W}\)

\(T = 980\ \text{N}\)

\(P = 490\ \text{W}\)

Osservazione. La potenza non dipende dal raggio del tamburo: è uguale alla potenza \(mgv\) con cui cresce l’energia potenziale del corpo.

4Due dischi di ferro, di raggi \(R_1 = 0{,}1\ \text{m}\) e \(R_2 = 2R_1\), e masse \(M_1 = 2\ \text{kg}\), \(M_2 = 1{,}5M_1\), sono fissati solidalmente uno all’altro in modo da risultare coassiali. Essi possono ruotare senza attrito attorno all’asse verticale passante per il centro di massa. Sul disco di raggio \(R_1\) è avvolto un filo a cui è appesa la massa \(m = 1\ \text{kg}\). All’istante \(t = 0\) la massa \(m\), inizialmente in quiete, viene lasciata scendere.

Calcola il tempo \(t_0\) necessario perché essa percorra \(h = 10\ \text{m}\).
Sul bordo del disco di raggio \(R_2\) è fissato un magnetino di massa \(m_0 = 10^{-2}\ \text{kg}\) e dimensioni trascurabili; la forza magnetica che lo tiene attaccato al disco vale 1,5 N. Di’ se al tempo \(t_0\) il magnetino è ancora attaccato al disco.

\(M_1 = 2\ \text{kg}\)

\(R_1 = 0{,}1\ \text{m}\)

\(M_2 = 3\ \text{kg}\)

\(R_2 = 0{,}2\ \text{m}\)

\(m = 1\ \text{kg}\)

\(h = 10\ \text{m}\)

\(m_0 = 10^{-2}\ \text{kg}\)

\(F_{mag} = 1{,}5\ \text{N}\)

\(I = \tfrac12M_1R_1^2 + \tfrac12M_2R_2^2 = 0{,}07\ \text{kg\,m}^2\)

\(\begin{cases} mg - T = ma \\ R_1T = I\alpha = I\,\dfrac{a}{R_1} \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; mR_1^2\,g = a\left(mR_1^2 + I\right)\)

\(a = g\,\dfrac{mR_1^2}{mR_1^2 + I} = 1{,}23\ \text{m/s}^2\)

\(t_0 = \sqrt{\dfrac{2h}{a}} = 4{,}04\ \text{s}\)

\(\alpha = \dfrac{a}{R_1} = 12{,}3\ \text{rad/s}^2\)

\(\omega_0 = \alpha t_0 = 49{,}5\ \text{rad/s}\)

\(F_c = m_0\,\omega_0^2R_2 = 10^{-2} \cdot 49{,}5^2 \cdot 0{,}2\ \text{N} = 4{,}9\ \text{N}\)

\(F_c = 4{,}9\ \text{N} > F_{mag} = 1{,}5\ \text{N}\): al tempo \(t_0\) il magnetino non è più attaccato al disco.

Osservazione. Per restare sul disco il magnetino ha bisogno di una forza centripeta \(m_0\omega^2R_2\), che può fornire solo la forza magnetica. Il distacco avviene quando \(m_0\omega^2R_2 = F_{mag}\), cioè a \(\omega = 27\ \text{rad/s}\), dopo circa 2,2 s. Nella soluzione a mano si parla di «forza centrifuga»: è il punto di vista di un osservatore che ruota con il disco.

5Due dischi rigidi (\(m_1 = 5\ \text{kg}\), \(r_1 = 10\ \text{cm}\), \(m_2 = 20\ \text{kg}\), \(r_2 = 20\ \text{cm}\)) sono connessi come in figura da una cinghia indeformabile, che non slitta rispetto ai dischi. All’asse del primo disco è connesso un motore che può fornire un momento costante \(\tau_1 = 8\ \text{N\,m}\), mentre sull’asse del secondo disco agisce un momento frenante costante \(\tau_2 = 7\ \text{N\,m}\). Al tempo \(t = 0\) il motore comincia ad agire facendo ruotare il primo disco.

Calcola la velocità angolare del secondo disco al tempo \(t = 5\ \text{s}\).
Calcola quanto lavoro è stato fornito dal motore in questo tempo.

\(m_1 = 5\ \text{kg}\)

\(r_1 = 0{,}10\ \text{m}\)

\(m_2 = 20\ \text{kg}\)

\(r_2 = 0{,}20\ \text{m}\)

\(\tau_1 = 8\ \text{N\,m}\)

\(\tau_2 = 7\ \text{N\,m}\)

\(t = 5\ \text{s}\)

\(I_1 = \tfrac12m_1r_1^2 = 0{,}025\ \text{kg\,m}^2\)

\(I_2 = \tfrac12m_2r_2^2 = 0{,}4\ \text{kg\,m}^2\)

\(r_1\omega_1 = r_2\omega_2\)

\(r_1\alpha_1 = r_2\alpha_2\) la cinghia non slitta

\(\begin{cases} \tau_1 - Tr_1 = I_1\alpha_1 \\ Tr_2 - \tau_2 = I_2\alpha_2 \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; \begin{cases} r_2\tau_1 - Tr_1r_2 = I_1\,\dfrac{r_2^2}{r_1}\,\alpha_2 \\ Tr_1r_2 - r_1\tau_2 = I_2\,r_1\alpha_2 \end{cases}\)

\(\alpha_2 = \dfrac{r_2\tau_1 - r_1\tau_2}{\frac{r_2^2}{r_1}I_1 + r_1I_2}\)

\({}= \dfrac{1{,}6 - 0{,}7}{0{,}010 + 0{,}040}\ \text{rad/s}^2 = 18\ \text{rad/s}^2\)

\(\omega_2 = \alpha_2 t = 90\ \text{rad/s}\)

\(\alpha_1 = \dfrac{r_2}{r_1}\,\alpha_2 = 36\ \text{rad/s}^2\)

\(\Delta\theta_1 = \tfrac12\alpha_1t^2 = 450\ \text{rad}\)

\(W = \tau_1\,\Delta\theta_1 = 3600\ \text{J}\)

Verifica con il teorema dell’energia cinetica:

\(K_f = \tfrac12I_1\omega_1^2 + \tfrac12I_2\omega_2^2 = 2025\ \text{J}\)

\(W_{freno} = -\tau_2\,\Delta\theta_2 = -1575\ \text{J}\)

\(W + W_{freno} = 3600\ \text{J} - 1575\ \text{J}\)

\({}= 2025\ \text{J} = K_f\)

\(\omega_2 = 90\ \text{rad/s}\)

\(W = 3{,}6 \cdot 10^3\ \text{J}\)

Momenti motori, momenti frenanti, attriti interni

6Due dischi uguali, ciascuno di massa \(m = 1{,}8\ \text{kg}\) e raggio \(R = 0{,}08\ \text{m}\), uno in un piano orizzontale e l’altro in un piano verticale, sono connessi tangenzialmente come in figura e possono ruotare attorno all’asse verticale indicato. All’istante iniziale, quando il sistema ha velocità angolare \(\omega = 56{,}3\ \text{rad/s}\), si applica all’asse un momento motore \(\tau_m = 0{,}32\ \text{N\,m}\) e contemporaneamente un momento frenante per cui il sistema si ferma dopo \(n = 50\) giri. Calcola il lavoro delle forze di attrito.

\(m = 1{,}8\ \text{kg}\)

\(R = 0{,}08\ \text{m}\)

\(\omega = 56{,}3\ \text{rad/s}\)

\(\tau_m = 0{,}32\ \text{N\,m}\)

\(\Delta\theta = 2\pi n = 100\pi\ \text{rad}\)

Per il teorema di Steiner, con l’asse a distanza \(R\) dai centri dei due dischi:

\(I = \left(\tfrac12mR^2 + mR^2\right) + \left(\tfrac14mR^2 + mR^2\right)\)

\({}= \tfrac{11}{4}\,mR^2\)

\(\tau_m - \tau_a = I\alpha\)

\(\omega_f^2 = \omega^2 + 2\alpha\,\Delta\theta = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = -\dfrac{\omega^2}{2\Delta\theta}\)

\(\dfrac{\tau_m - \tau_a}{\frac{11}{4}mR^2} = -\dfrac{\omega^2}{2\Delta\theta}\)

\(\;\Rightarrow\; \tau_a = \tau_m + \dfrac{11mR^2\omega^2}{8\,\Delta\theta}\)

\(W_a = -\tau_a\,\Delta\theta = -\tau_m\,\Delta\theta - \tfrac{11}{8}\,mR^2\omega^2\)

\(W_a = -(100{,}5 + 50{,}2)\ \text{J} = -150{,}7\ \text{J}\)

\(W_a = -151\ \text{J}\)

Osservazione. Si arriva allo stesso risultato con il teorema dell’energia cinetica: \(W_m + W_a = 0 - \tfrac12I\omega^2\), cioè \(W_a = -\tau_m\Delta\theta - \tfrac12I\omega^2\).

Osservazione. Per il disco verticale serve il momento d’inerzia rispetto a un diametro, \(\tfrac14mR^2\) (vedi il richiamo qui sotto e la dimostrazione con gli integrali nella pagina L303E8).

7Un disco rigido, di massa \(m = 40\ \text{kg}\) e raggio \(R = 16\ \text{cm}\), è posto in un piano orizzontale e può ruotare attorno a un asse verticale passante a distanza \(d = 9\ \text{cm}\) dal centro del disco. Il bordo del disco è a contatto con un anello di raggio \(r = R + d\) che tramite un opportuno meccanismo non disegnato può ruotare attorno allo stesso asse in modo tale che, in caso di moto relativo tra disco e anello, si sviluppi una forza di attrito radente \(F = 6\ \text{N}\), tangente all’anello; la massa dell’anello è uguale a quella del disco (la forza \(F\) è l’unica forza di attrito presente nel sistema). Inizialmente disco e anello sono fermi; al tempo \(t = 0\) viene applicato all’asse un momento costante \(\tau = 2{,}22\ \text{N\,m}\) così che il disco entra in rotazione; l’anello viene invece mantenuto fermo.

Calcola la velocità angolare del disco al tempo \(t_1 = 10\ \text{s}\). Nell’istante \(t_1\) l’anello viene lasciato libero e inizia anch’esso a ruotare trascinato dal disco.
Calcola la velocità angolare dell’anello al tempo \(t_2 = 20\ \text{s}\). Nell’istante \(t_2\) viene staccato dall’asse il motore che forniva il momento \(\tau\) e si osserva che al tempo \(t_3\) disco e anello hanno la stessa velocità angolare.
Calcola l’energia cinetica del sistema disco–anello al tempo \(t_3\).
Calcola il lavoro complessivo \(W_{int}\) svolto dalle forze interne nell’intervallo di tempo da \(t = 0\) a \(t_3\).

\(m = 40\ \text{kg}\)

\(R = 0{,}16\ \text{m}\)

\(d = 0{,}09\ \text{m}\)

\(r = R + d = 0{,}25\ \text{m}\)

\(F = 6\ \text{N}\)

\(\tau = 2{,}22\ \text{N\,m}\)

\(I = \tfrac12mR^2 + md^2 = 0{,}836\ \text{kg\,m}^2\) Steiner

\(\tau - rF = I\alpha\)

\(\;\Rightarrow\; \alpha = \dfrac{\tau - (R + d)F}{m\left(\frac12R^2 + d^2\right)} = 0{,}8612\ \text{rad/s}^2\)

\(\omega_1 = \alpha t_1 = 8{,}61\ \text{rad/s}\)

b) l’anello è accelerato dall’attrito

\(I_a = mr^2 = 2{,}5\ \text{kg\,m}^2\)

\(rF = I_a\alpha_a \;\Rightarrow\; \alpha_a = \dfrac{F}{mr} = 0{,}6\ \text{rad/s}^2\)

\(\omega_2 = \alpha_a(t_2 - t_1) = 6\ \text{rad/s}\)

Il disco continua ad accelerare con \(\alpha\), perché l’attrito resta \(F\) finché c’è moto relativo: \(\omega_{2d} = \alpha t_2 = 17{,}22\ \text{rad/s}\).

c) senza motore il disco rallenta, l’anello accelera

\(\alpha_d = -\dfrac{(R + d)F}{m\left(\frac12R^2 + d^2\right)} = -1{,}794\ \text{rad/s}^2\)

\(\omega_{2d} + \alpha_dt^* = \omega_2 + \alpha_at^*\)

\(\;\Rightarrow\; t^* = \dfrac{\omega_{2d} - \omega_2}{\alpha_a - \alpha_d} = 4{,}688\ \text{s}\)

\(t_3 = t_2 + t^* = 24{,}69\ \text{s}\)

\(\omega_3 = \omega_2 + \alpha_at^* = 8{,}813\ \text{rad/s}\)

\(K = \tfrac12\,\omega_3^2\,(I + I_a) = 129{,}6\ \text{J}\)

\(\theta_2 = \tfrac12\alpha t_2^2 = 172{,}2\ \text{rad}\)

\(W_{mot} = \tau\,\theta_2 = 382{,}4\ \text{J}\)

\(W_{mot} + W_{int} = K\)

\(\;\Rightarrow\; W_{int} = K - W_{mot} = -252{,}8\ \text{J}\)

\(\omega_1 = 8{,}61\ \text{rad/s}\)

\(\omega_2 = 6{,}00\ \text{rad/s}\)

\(K = 130\ \text{J}\)

\(W_{int} = -253\ \text{J}\)

Osservazione. Fra 0 e \(t_1\) il meccanismo che tiene fermo l’anello non compie lavoro, perché l’anello non si muove: l’unico lavoro esterno è quello del motore. Il lavoro delle forze interne è negativo: è l’energia dissipata dall’attrito fra disco e anello.

8Su un piano senza attrito è stato posto un disco di raggio 12,0 cm, di composizione non nota e non omogenea, e lo si è avvolto con un filo sottile a cui è stato agganciato un blocchetto, libero di cadere in modo che il disco ruoti attorno al proprio asse. Il blocchetto ha una massa di 400 g e la sua velocità, quando è sceso di 50,0 cm, è 2,60 m/s. (n. 60)

Calcola il momento di inerzia del disco.

\(r = 0{,}120\ \text{m}\)

\(m = 0{,}400\ \text{kg}\)

\(h = 0{,}500\ \text{m}\)

\(v = 2{,}60\ \text{m/s}\)

\(\begin{cases} mg - T = ma \\ rT = I\alpha = I\,\dfrac ar \end{cases} \;\Rightarrow\; m(g - a) = \dfrac{I}{r^2}\,a\)

\(I = mr^2\left(\dfrac ga - 1\right)\)

\(v^2 = 2ah \;\Rightarrow\; a = \dfrac{v^2}{2h}\)

\(I = mr^2\left(\dfrac{2gh}{v^2} - 1\right)\)

\({}= 0{,}400 \cdot 0{,}0144 \cdot \left(\dfrac{9{,}8}{6{,}76} - 1\right)\ \text{kg\,m}^2\)

\(I = 2{,}59 \cdot 10^{-3}\ \text{kg\,m}^2\)

Osservazione. Si può usare anche la conservazione dell’energia: \(mgh = \tfrac12mv^2 + \tfrac12I\frac{v^2}{r^2}\), da cui la stessa formula.

Osservazione. Nella soluzione a mano il risultato è \(2{,}60 \cdot 10^{-3}\ \text{kg\,m}^2\), ottenuto con \(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Pendolo fisico e oscillazioni

9Calcola il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo composto mostrato in figura, formato da due aste di masse e lunghezze \(m_1, \ell_1, m_2, \ell_2\); la seconda asta è a 90° rispetto alla prima ed è fissata a questa nel centro. In particolare considera il caso \(m_1 = m_2\), \(\ell_1 = \ell_2 = \ell\).

\(L = \dfrac{m_1\frac{\ell_1}{2} + m_2\ell_1}{m_1 + m_2} = \dfrac{\ell_1}{2}\,\dfrac{m_1 + 2m_2}{m_1 + m_2}\) distanza OC del centro di massa

\(\tau = I\alpha \;\Rightarrow\; -L(m_1 + m_2)\,g\sin\theta = I\alpha\)

\(\sin\theta \approx \theta = \dfrac sL\)

\(a = L\alpha \;\Rightarrow\; a = -\dfrac{(m_1 + m_2)\,gL}{I}\,s\)

\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \sqrt{\dfrac{(m_1 + m_2)\,gL}{I}}\)

\(\;\Rightarrow\; T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{(m_1 + m_2)\,gL}}\)

\(I = \tfrac1{12}m_1\ell_1^2 + m_1\dfrac{\ell_1^2}{4} + \tfrac1{12}m_2\ell_2^2 + m_2\ell_1^2\)

\({}= \left(\tfrac13m_1 + m_2\right)\ell_1^2 + \tfrac1{12}m_2\ell_2^2\) Steiner

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\left(\frac13m_1 + m_2\right)\ell_1^2 + \frac1{12}m_2\ell_2^2}{\left(\frac{m_1}{2} + m_2\right)\ell_1\,g}}\)

caso \(m_1 = m_2\), \(\ell_1 = \ell_2 = \ell\)

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\frac43\ell^2 + \frac1{12}\ell^2}{\frac32\,\ell g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{17}{12} \cdot \dfrac23\,\dfrac{\ell}{g}}\)

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{17}{18}\,\dfrac{\ell}{g}}\)

10Un anello di raggio \(R = 25\ \text{cm}\) e massa \(m\) è appeso ad un piolo attorno al quale può ruotare senza attrito. Calcola il periodo delle piccole oscillazioni e la lunghezza ridotta. Ripeti il calcolo per un disco.

\(R = 0{,}25\ \text{m}\)

\(d = R\)

anello

\(I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2\) Steiner

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgR}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2R}{g}} = 1{,}42\ \text{s}\)

\(\ell_r = 2R = 0{,}5\ \text{m}\)

disco

\(I = \tfrac12mR^2 + mR^2 = \tfrac32mR^2\)

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{3R}{2g}} = 1{,}23\ \text{s}\)

\(\ell_r = \tfrac32R = 0{,}375\ \text{m}\)

\(T_{anello} = 1{,}42\ \text{s}\)

\(\ell_{anello} = 0{,}50\ \text{m}\)

\(T_{disco} = 1{,}23\ \text{s}\)

\(\ell_{disco} = 0{,}375\ \text{m}\)

Osservazione. Il periodo non dipende dalla massa. L’anello oscilla più lentamente del disco perché ha la massa più lontana dal piolo.

11Nel sistema descritto in figura la molla, di massa trascurabile, ha costante elastica \(k\); la carrucola, costituita da un cilindro omogeneo di massa \(M\) e raggio \(R\), ruota senza attrito intorno all’asse O disposto orizzontalmente. Il filo che collega la molla, un cui estremo è fissato in A, alla massa \(m\), è inestensibile, di massa trascurabile e non slitta sulla carrucola. Calcola il periodo delle piccole oscillazioni della massa \(m\) nel suo moto lungo la verticale.

All’equilibrio la molla è allungata di \(x_0\), con \(mg = kx_0\). Indichiamo con \(x\) lo spostamento verso il basso della massa a partire dall’equilibrio: la molla è allungata di \(x_0 + x\).

\(\begin{cases} mg - T_1 = ma \\ RT_1 - RT_2 = \tfrac12MR^2\,\dfrac aR \\ T_2 - k(x_0 + x) = 0 \end{cases}\)

\(\;\Rightarrow\; \begin{cases} mg - T_1 = ma \\ T_1 - T_2 = \tfrac12Ma \\ T_2 - kx_0 - kx = 0 \end{cases}\)

\(mg - kx_0 - kx = a\left(m + \tfrac12M\right)\)

\(\;\Rightarrow\; a = -\dfrac{k}{m + \frac12M}\,x\) sommando, con \(mg = kx_0\)

È la legge del moto armonico \(a = -\omega^2x\):

\(\omega = \sqrt{\dfrac{2k}{2m + M}} \;\Rightarrow\; T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2m + M}{2k}}\)

Osservazione. La carrucola si comporta come una massa aggiuntiva \(\frac M2\) attaccata alla molla: con carrucola di massa trascurabile si ritrova il periodo \(2\pi\sqrt{m/k}\) dell’oscillatore massa–molla.