Esercizi – equilibrio del corpo rigido

Esercizi sulla lezione L303. Un corpo rigido è in equilibrio se sono nulli la risultante delle forze e il momento risultante rispetto a un polo qualsiasi: \(\vec F_{tot} = \vec 0\), \(\vec\tau_{tot} = \vec 0\). Conviene scegliere il polo nel punto in cui agiscono le forze incognite (per esempio una cerniera): i loro momenti sono nulli.

1Un disco di massa \(m = 50\ \text{kg}\) e raggio \(R = 0{,}5\ \text{m}\) deve superare uno scalino alto \(h = 0{,}12\ \text{m}\). Calcola il minimo valore della forza orizzontale che occorre applicare nel centro del disco.

\(m = 50\ \text{kg}\)

\(R = 0{,}50\ \text{m}\)

\(h = 0{,}12\ \text{m}\)

Quando il disco sta per salire perde il contatto con il pavimento e si appoggia solo sullo spigolo P. Prendiamo P come polo: la reazione dello spigolo ha momento nullo.

\(\tau_F = (R - h)\,F\) braccio di \(\vec F\): distanza verticale fra O e P

\(\tau_P = \sqrt{R^2 - (R - h)^2}\cdot mg\)

\({}= \sqrt{2Rh - h^2}\cdot mg\) braccio del peso: distanza orizzontale fra O e P

\(\tau_F = \tau_P \;\Rightarrow\; F = \dfrac{mg\sqrt{2Rh - h^2}}{R - h}\)

\(F = \dfrac{50 \cdot 9{,}8 \cdot \sqrt{0{,}12 - 0{,}0144}}{0{,}38}\ \text{N} = 419\ \text{N}\)

\(F_{min} = 4{,}2 \cdot 10^2\ \text{N}\)

2Un’asta di lunghezza \(\ell\) e massa \(M\), sulle cui estremità poggiano due masse \(m_1\) e \(m_2\), è in equilibrio in un piano orizzontale, utilizzando un fulcro a distanza \(x_F\) dall’estremo A (dove poggia \(m_1\)). Determina il valore di \(x_F\), la coordinata \(x_{CM}\) del centro di massa del sistema e la reazione vincolare del fulcro.

\(R - m_1g - m_2g - Mg = 0\)

\(\;\Rightarrow\; R = (M + m_1 + m_2)\,g\)

\(x_{CM} = \dfrac{m_1 \cdot 0 + M\frac{\ell}{2} + m_2\ell}{M + m_1 + m_2}\)

\({}= \dfrac{\ell}{2}\,\dfrac{M + 2m_2}{M + m_1 + m_2}\) origine in A

Momenti rispetto ad A:

\(x_F\,R - \dfrac{\ell}{2}\,Mg - \ell\,m_2g = 0\)

\(\;\Rightarrow\; x_F = \dfrac{\frac{\ell}{2}(M + 2m_2)\,g}{(M + m_1 + m_2)\,g}\)

\(x_F = x_{CM} = \dfrac{\ell}{2}\,\dfrac{M + 2m_2}{M + m_1 + m_2}\)

\(R = (M + m_1 + m_2)\,g\)

Osservazione. Il fulcro deve stare sulla verticale del centro di massa: solo così il peso complessivo, applicato nel centro di massa, ha momento nullo rispetto al fulcro.

3Una lampada di massa \(M\) è sospesa tramite un’asta AB orizzontale di massa trascurabile, incernierata alla parete nel punto A. L’asta è sostenuta da una fune che forma un angolo di 45° con la verticale, come indicato in figura. Determina il modulo della tensione della fune e della forza orizzontale agente sull’asta in B.

L’asta ha massa trascurabile ed è incernierata in A: in B agiscono il peso della lampada, la tensione della fune e la forza orizzontale \(\vec F\) che l’asta esercita sul punto B.

\(\begin{cases} F - T\cos45^\circ = 0 \\ T\sin45^\circ - Mg = 0 \end{cases}\)

\(T = \dfrac{Mg}{\sin45^\circ} = \sqrt2\,Mg\)

\(F = T\cos45^\circ = Mg\)

\(T = \sqrt2\,Mg\)

\(F = Mg\)

Osservazione. Un’asta di massa trascurabile incernierata a un estremo e caricata solo all’altro estremo può essere sollecitata solo lungo la propria direzione: l’asta è compressa e spinge B verso l’esterno con la forza \(F = Mg\).

4Un ponte è costituito da una tavola di massa \(M = 600\ \text{kg}\) lunga \(\ell = 4\ \text{m}\). Questa tavola è incernierata sul lato A e può essere alzata agendo sul lato B con una fune tirata dal punto C, posto sulla verticale passante per A e distante \(\ell\) da A.

Calcola il valore della tensione della fune quando il ponte è in equilibrio ad un angolo \(\theta = 30^\circ\) con l’orizzontale.
Calcola in questa situazione la reazione vincolare \(\vec R\) in A.

\(M = 600\ \text{kg}\)

\(\ell = 4\ \text{m}\)

\(\overline{AC} = \ell\)

\(\theta = 30^\circ\)

Il triangolo ACB è isoscele (AC = AB = \(\ell\)) e l’angolo in A vale \(\frac\pi2 - \theta = 60^\circ\); gli angoli alla base valgono quindi

\(\alpha = \dfrac{\pi - \left(\frac\pi2 - \theta\right)}{2} = \dfrac\pi4 + \dfrac\theta2 = 60^\circ\)

a) momenti rispetto ad A

\(Mg\,\dfrac{\ell}{2}\cos\theta = T\,\ell\sin\alpha\)

\(\;\Rightarrow\; T = \dfrac{Mg\cos30^\circ}{2\sin60^\circ} = \dfrac12\,Mg = 2940\ \text{N}\)

b) equilibrio delle forze

Il triangolo è equilatero: la fune BC forma un angolo di 30° con l’orizzontale.

\(\begin{cases} R_{Ax} - T\cos30^\circ = 0 \\ R_{Ay} - Mg + T\sin30^\circ = 0 \end{cases}\)

\(R_{Ax} = \dfrac{\sqrt3}{4}\,Mg = 2546\ \text{N}\)

\(R_{Ay} = Mg - \dfrac14\,Mg = \dfrac34\,Mg = 4410\ \text{N}\)

\(R = \sqrt{R_{Ax}^2 + R_{Ay}^2} = \dfrac{\sqrt3}{2}\,Mg = 5092\ \text{N}\)

\(\delta = \operatorname{arctg}\dfrac{R_{Ay}}{R_{Ax}} = 60^\circ\)

\(T = 2{,}94 \cdot 10^3\ \text{N}\)

\(R = 5{,}09 \cdot 10^3\ \text{N}\ \text{a } 60^\circ \text{ sull’orizzontale}\)

5Un’asta, lunga \(\ell = \overline{OA} = 1\ \text{m}\) e di massa \(M = 10\ \text{kg}\), è incernierata nel punto O; tramite un filo e una carrucola l’estremo A è connesso a un corpo di massa \(m\). Il sistema è in equilibrio e i valori degli angoli sono \(\theta = 30^\circ\) e \(\varphi = 75^\circ\).

Calcola il valore di \(m\) e modulo, direzione e verso della reazione vincolare in O.
Ad un certo istante il filo è tagliato. Calcola quanto deve valere \(h\) affinché il corpo di massa \(m\) arrivi al suolo con la stessa velocità con cui vi arriva il punto A dell’asta.

\(\ell = 1\ \text{m}\)

\(M = 10\ \text{kg}\)

\(\theta = 30^\circ\)

\(\varphi = 75^\circ\)

L’angolo fra il filo e l’asta è \(\varphi - \theta = 45^\circ\). Prendiamo O come polo:

\(\begin{cases} T - mg = 0 \\ T\cos\varphi - R_{Ox} = 0 \\ T\sin\varphi - Mg + R_{Oy} = 0 \\ \ell\,T\sin(\varphi - \theta) - Mg\,\dfrac{\ell}{2}\cos\theta = 0 \end{cases}\)

\(T\,\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac12\,Mg\,\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\(\;\Rightarrow\; T = \dfrac{\sqrt3}{2\sqrt2}\,Mg = \dfrac{\sqrt6}{4}\,Mg\)

\(m = \dfrac Tg = \dfrac{\sqrt6}{4}\,M = 6{,}124\ \text{kg}\)

\(R_{Ox} = T\cos75^\circ = \dfrac{\sqrt6}{4}\,Mg\,\dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}\)

\({}= \dfrac{6 - 2\sqrt3}{16}\,Mg = 15{,}53\ \text{N}\)

\(R_{Oy} = Mg - T\sin75^\circ\)

\({}= Mg\left(1 - \dfrac{6 + 2\sqrt3}{16}\right)\)

\({}= \dfrac{10 - 2\sqrt3}{16}\,Mg = 40{,}03\ \text{N}\)

\(R_O = \sqrt{R_{Ox}^2 + R_{Oy}^2} = 42{,}94\ \text{N}\)

\(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{R_{Oy}}{R_{Ox}} = 68{,}8^\circ\)

Dopo il taglio l’asta ruota attorno a O e il suo centro di massa scende di \(\frac{\ell}{2}\sin\theta\):

\(Mg\,\dfrac{\ell}{2}\sin\theta = \dfrac12 \cdot \dfrac13 M\ell^2\omega^2\)

\(\;\Rightarrow\; \omega = \sqrt{\dfrac{3g\sin\theta}{\ell}} = 3{,}834\ \text{rad/s}\)

\(v_A = \omega\,\ell = 3{,}834\ \text{m/s}\)

\(v_m^2 = 2gh = v_A^2 = 3g\ell\sin\theta\)

\(\;\Rightarrow\; h = \dfrac32\,\ell\sin\theta = \dfrac34\,\ell\)

\(m = 6{,}12\ \text{kg}\)

\(R_O = 42{,}9\ \text{N}\)

\(h = 0{,}75\ \text{m}\)

Osservazione. La componente orizzontale della reazione in O è rivolta verso sinistra (verso negativo dell’asse x, opposto alla componente orizzontale della tensione), quella verticale verso l’alto: la reazione forma un angolo di 68,8° con l’orizzontale, inclinata verso sinistra.